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[이득우의 게임수학] 수와 집합

소박한 집합론 ( Naive Set Theory )

집합론의 일종으로, 여기서는 서로 구분되는 원소로 구성된 묶음을 의미한다고 한다.

말은 좀 어려운거 같은데, 중고등학교 과정에서 배웠던 집합들이 다 여기에 속하는 것 같다.

즉 우리의 인식이나 생각에서 명확하고 분리될 수 있는 대상들을 하나의 모임으로 칭하는 것으로 관념적인 개념에 의존하는 느낌이라고 보면 될 듯

어쨌든, 게임 수학을 본격적으로 공부하기 전에 수 집합을 정의해 구분할 필요가 있다.

과거에 공부했던 자연수, 정수, 유리수, 무리수, 실수, 복소수, 사원수 같은 것들이다.

 

자연수 (Natural Number) 물건을 세거나 순서를 지정하기 위해 사용하는 수의 집합
정수 (Integer) 자연수와 자연수의 음수 0을 포함하는 수의 집합
유리수 (Rational) 분모가 0이 아닌 두 정수의 비율 혹은 분수로 나타낼 수 있는 수의 집합
무리수(Irrational) 두 정수 비 혹은 분수로 나타낼 수 없는 수의 집합
실수 (Real Number) 유리수와 무리수를 포함하는 수의 집합
복소수 (Complex Number) 실수와 제곱하는 -1이 되는 허수 단위 i를 조합해 ⁍(a,b는 실수) 형태로 표현하는 수의 집합
사원수 (Quaternion, Hamilton Number) 실수와 제곱하면 -1이 되는 세 허수 단위 i,j,k를 조합해 ⁍(a,b,c,d는 실수) 형태로 표현하는 수의 집합

소박한 집합론은 보편적인 관념에 의존할 수 밖에 없기 때문에 집합의 성질을 명확하게 구분해줄 수 있는 명제가 필요하다고 한다.

증명할 필요가 없는 기본 명제(공리)를 기반으로 대상을 구분하는 것이 필요한데, 그것이 공리적 집합론 이라고 한다.

공리적 집합론 (Axiomatic Set Theory)

수가 가지는 연산에 대한 공리를 기반으로 수를 분류하는 집합론.

이렇게 써놓으니 매우 어려워 보이는데, 일단 책에서 설명하는 내용으로 봐서는 수를 분류하기 위해 연산이라는 공리를 사용한 것으로 이해하면 될 듯.

이항 연산 (Binary Operation)

수 집합의 고유한 특징은 원소를 이용해 연산을 한다는 점인데, 대표적으로 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이라 불리는 사칙연산이 있다.

이 연산들은 두개의 원소를 이용해 새로운 원소를 만들어내므로 이항연산이라고도 한다.

닫혀 있다의 개념

같은 집합에 속해 있는 두 수를 가지고 이항 연산을 수행한 뒤의 결과로 나온 수가 항상 기존에 투입한 두 수의 집합과 동일하다면, 해당 이항 연산은 해당 집합에 대해 닫혀 있다 (Closure) 라고 한다.

이항 연산의 성질

중고등학교때 배웠던 그 성질.

  • 교환 법칙 (Commutative law)
  • 결합 법칙 (Associative law)
  • 분배 법칙 (Distributive law)

교환 법칙 (Commutative law)

임의의 두 수 a와 b를 연산할 때 순서와 관계 없이 항상 동일한 결과가 나오는 성질

ex) $a + b = b + a$

$a * b = b * a$

결합 법칙 (Associative law)

연산이 두번 이상 연속될 때, 앞의 연산을 먼저 계산한 결과와 뒤의 연산을 계산한 결과가 같은 성질

ex )

분배 법칙 (Distributive law)

서로 다른 2가지 연산에 대해 다음의 규칙이 성립되는 것

→ 이 두가지를 만족하면 분배법칙을 만족하는 것

항등원(Identity)과 역원(Inverse)

항등원

→ 임의의 수와의 연산 결과를 항상 동일한 수로 만들어주는 특별한 수

ex ) 실수 집합 R에서 덧셈 연산을 가정했을 때, 미지수 a에 항등원 b를 더했을 때 a가 나오는 것

즉, 덧셈의 항등원은 0이다.

마찬가지로 곱셈의 항등원은 1이다.

역원

→ 임의의 수와의 연산 결과를 항상 항등원으로 만들어주는 특별한 수

ex) 실수 집합 R에서 임의의 수의 덧셈과 곱셈의 역원은 다음과 같다.

→ 항등원은 덧셈이나 곱셈에 대해 각각 0과 1로 고정되어 있지만, 역원은 덧셈이나 곱셈에 주어진 수에 따라 값이 달라지고, 역원은 연산에 따라 패턴을 보임.

즉 덧셈 역원은 주어진 수에서 항상 부호가 반대인 수 (반대수 Opposite number)

곱셈 역원은 분자가 1이고 분모가 주어진 수 (역수 Reciprocal) → 분모가 0인 분수는 존재할 수 없으므로 0의 곱셈 역원은 없다.

수의 구조

책에서 아래와 같은 공리로 수의 구조를 풀어낸다.

  1. 연산에 대해 닫혀있다.
  2. 연산에 대해 결합 법칙이 성립한다.
  3. 연산에 대한 항등원이 존재한다.
  4. 연산에 대한 역원이 존재한다.
  5. 연산에 대해 교환 법칙이 성립한다.

정수 집합 Z를 위 공리 체계에서 분석해본다면 ?

→ 덧셈은 위 공리를 모두 만족 (정수끼리 더하면 정수,결합 법칙과 항등원, 임의의 역원이 항상 존재)

→ 뺄셈은 위 공리를 모두 만족하지 못함 (교환법칙이 성립하지 않음)

두개의 연산에 대한 공리

  1. 두번째 연산에 대해 닫혀있다.
  2. 두번째 연산에 대해 결합법칙이 성립한다.
  3. 첫번째 연산과 두번째 연산에 대해 분배법칙이 성립한다.
  4. 두번째 연산에 대해 교환법칙이 성립한다.
  5. 두번째 연산에 대해 항등원이 존재한다.
  6. 두번째 연산에 대해 역원이 존재한다 (단 0은 제외).

정수 집합 $Z$에 곱셈 연산을 추가하고 위의 공리를 만족하는지 확인한다면?

→ 곱셈에 닫혀있고, 결합 법칙과 분배법칙, 교환 법칙도 성립한다.

→ 정수 a에 대한 곱셈 역원은 1/a인데 정수가 아니므로 11번이 만족되지 않는다

덧셈과 곱셈 연산에 대해 11가지 공리를 모두 만족하는 수집합?

→ 자연수 N은 덧셈에 대한 역원이 없다.

→ 정수 Z는 곱셈에 대한 역원이 없다.

→ 유리수 Q와 실수 R은 곱셈에 대한 역원이 존재해 위의 11가지 공리를 모두 만족

공리적 집합론에서 두 연산에 대해 위의 1-11번까지의 공리를 모두 만족하는 수 집합을 체(Field)의 구조를 지닌다고 표현한다.

→ 즉 유리수 Q와 실수 R 같은 체의 구조를 가지는 수 집합은 예외 상황 없이 덧셈, 곱셈을 안전하고 자유롭게 사용한다고 볼 수 있다는 것.

책에서는 이를 통해 체계를 확장해서 공간의 구조를 생성하고 콘텐츠를 담아 가상 세계를 구축한다고 한다.

뺄셈과 나눗셈이 체의 구조를 만족하는가?

둘다 만족하지 못한다. 그럼 어떻게 사용? → 뺄셈 대신 덧셈의 역원, 나눗셈 대신 곱셈의 역원을 사용

즉 아래와 같다.

위와 같은 이유로 수 집합의 구조를 분석할 때 덧셈과 곱셈 연산에 대해서만 살펴봐도 된다.

→ 체는 사칙 연산이 자유롭게 시행될 수 있고, 산술 규칙들을 만족하는 수의 구조.

수의 표현

수직선(Number line) (직각으로 만나는 그 직선 아님)

-2와 2의 표현

0을 기준으로 시각적으로 대칭되어 있는 것으로도 볼 수 있음

즉 이런 해석도 가능

1-5는 1의 위치를 왼쪽 방향으로 5만큼 이동 시키는 것이고,

2+2는 2의 위치를 오른쪽 방향으로 2만큼 이동시키는 것이다.

 

 

마찬가지로 2와의 곱셈은 원점으로부터 거리를 같은 방향으로 2배 키움

-2와의 곱셈은 원점으로부터의 거리를 2배로 늘린 뒤, 반대 방향으로 대칭시키는 것이라 보면 됨