행렬 (Matrix) 이론
행렬이란?
- 행렬은 가로와 세로로 나열된 수의 집합으로, 원하는 만큼의 행과 열을 가질 수 있습니다.
- 벡터는 한 행만 가지는 single-row matrix 라고도 합니다.
- 행렬은 각종 변환 ( 이동 / 회전 / 스케일 )등 각종 연산을 효율적으로 할 수 있습니다.
3x3 행렬은 다음과 같이 정의합니다.
행렬의 원소 자리엔 수식이 올 수 도 있고 실수가 올 수 도 있습니다.
행렬의 상동
- 두 행렬이 상동인가 ( 같은 행렬인가? ) 를 알아보려면 다음과 같은 조건을 만족하는지 확인하면 됩니다.
1. 크기가 같은가?
2. 모든 원소가 동일한가?
예를 들어 다음과 같은 행렬이 A , B 가 있다고 가정할 때, 두 행렬이 상동인지 확인해 보겠습니다.
1. 크기가 같은가?
- A 행렬은 3X2 행렬이고 B행렬은 2X2 행렬입니다. 첫번째 조건부터 성립되지 않아 두 행렬은 상동이 아닙니다.
그럼 다음과 같은 행렬 C , D 는 어떨지 보겠습니다.
1. 크기가 같은가?
- C행렬은 2X3 행렬이고 D행렬 또한 2X3 행렬입니다.
2. 모든 원소가 동일한가?
- 나머진 다 동일한데 2행 3열번째 원소의 값이 각각 6, 9로 다릅니다.
- 따라서 두 행렬은 상동이 아닙니다.
다음 행렬 E, F를 보겠습니다.
1. 크기가 같은가?
- 둘다 3X3 행렬로 같습니다.
2. 모든 원소가 동일한가?
- 모든 원소가 동일합니다. 따라서 E , F는 상동입니다.
행렬의 합
- 두 행렬의 크기가 같을 경우에 계산할 수 있고, 각 원소별로 합을 구하면 됩니다.
아래와 같은 A , B 행렬이 있다고 합시다.
A+B 의 값을 계산할 경우 A의 1행 1열인 1 , B의 1행 1열인 -3 값을 더하는 식으로, 각행 각열 원소를 1:1 대응해 계산합니다.
계산 결과는 다음과 같습니다.
행렬의 차
- 마찬가지로 두 행렬의 크기가 같은 경우에 계산할 수 있고, 각 원소별로 차를 구하면 됩니다.
아래와 같은 A , B 행렬이 있다고 합시다.
A-B 의 계산 결과는 다음과 같습니다.
* 행렬의 합과 차는 반드시 행렬의 크기가 같아야 구할 수 있습니다.
행렬의 곱셈
- 곱셈은 좀 특별합니다. 왼쪽 행렬의 '열'과 오른쪽 행렬의 '행'이 동일해야 합니다.
- 즉 다음과 같은 행렬 A , B 가 있다고 하고 계산해 봅시다.
AXB=C 의 결과는 다음과 같이 계산합니다. ( A의 한 행과 B 의 한 열을 순차적으로 곱하고 더합니다. )
C11 = ( A11 * B11 + A12 * B21 + A13 * B31 )
C12 = ( A11 * B12 + A12 * B22 + A13 * B32 )
C13 = ( A11 * B13 + A12 * B23 + A13 * B33 )
C21 = ( A21 * B11 + A22 * B21 + A23 * B31 )
C22 = ( A21 * B12 + A22 * B22 + A23 * B32 )
C23 = ( A21 * B13 + A22 * B23 + A23 * B33 )
즉,
C11 = ( 2 * (-11) + 1 * (-3) + (-1)*2 ) = ( -22 + (-3) + (-2) ) = -27
C12 = ( 2 * 2 + 1 * 5 + (-1) * 2 ) = 4 + 5 + (-2) = 7
C13 = ( 2 * 0 + 1 * 1 + (-1) * (-6) ) = 0 + 1 + 6 = 7
C21 = ( 0 * (-11) + 7 * (-3) + 3 * 2 ) = 0 + (-21) + 6 = -15
C22 = ( 0 * 2 + 7 * 5 + 3 * 2 ) = 2 + 35 + 6 = 43
C23 = ( 0 * 0 + 7 * 1 + 3 * (-6) ) = 0 + 7 + (-18) = -11
임을 알 수 있습니다.
결과로 얻어지는 행렬은 A(행 2) X B(열 3) 으로 2 X 3 행렬이 얻어집니다.
행렬과 스칼라와의 곱
- 행렬에 스칼라를 곱하는 것은 행렬 사이의 곱보다 간단합니다.
- 각 원소에 스칼라를 곱해주면 쉽게 계산할 수 있습니다.
일 때, 스칼라 k를 곱한다면 kA = Ak 로 표기할 수 있고 계산은 k를 각 원소에 곱하면 됩니다.
k가 2라 할때 2A를 구하면 다음과 같습니다.
정방 행렬(Square matrix)
- 행과 열이 같을때 정방행렬이라 말합니다.
단위 행렬(identity matrix)
* 행렬의 성분 Aij 가 있다고 할 때 i 와 j 가 같은 원소를 대각선 성분이라고 합니다.
* 이때 , 정방행렬일 때 대각선 성분을 제외한 모든 원소가 0일 경우 대각 행렬(diagonal matrix) 라고 하는데,
대각선 성분이 모두 1일 경우 단위 행렬이라 합니다.
3X3 단위 행렬 I.
*단위 행렬은 실수의 곱셈에서 1과 같은 역할을 한다. 즉, 행렬 곱셈에 있어서 '항등원'이 되는 행렬입니다.
따라서 임의의 행렬 A가 있을때 (단 A 는 정방행렬 ) AI = IA = A 라고 할 수 있습니다.
전치 행렬(Transpose matrix)
- 대각선 성분에 대해 대칭 이동한 행렬입니다. m x n 행렬을 n x m 행렬로 바꿔줍니다.
연산 법칙
A , B , C 는 행렬이고 I 는 단위 행렬 0은 0행렬(모든 원소가 0인 행렬) , k와 l 은 스칼라라고 가정할 때
다음과 같은 법칙이 적용됩니다.
1. 덧셈 법칙
(ㄱ) A + B = B + A (교환 법칙)
(ㄴ) (A+B)+C = A+(B+C) (결합법칙)
(ㄷ) A+0=0+A=A
(ㄹ) A+(-A)= 0
2. 스칼라의 곱 법칙
(ㄱ) (k+l)A = kA + lA
(ㄴ) k(A+B) = kA + kB
(ㄷ) (kl)A = k(lA)
(ㄹ) (-1)A = -A
(ㅁ) 0A = 0
3. 곱셈 법칙
(ㄱ) AB ≠ BA (교환 법칙 x)
(ㄴ) A(BC) = (AB)C (결합법칙)
(ㄷ) A(B±C) = AB±AC
(A±B)C = AC±BC (분배법칙)
(ㄹ) AI = IA = A
(ㅁ) k(AB_=(kA)B=A(kB)
(ㅂ) 정방행렬 A 에 대하여
* 가장 중요한 것은 곱셈법칙의 '교환법칙'이 성립되지 않는다는 것입니다.
행렬의 곱셈 순서는 바뀔 경우 다른 결과가 나타날 수 있습니다. ( 변환 에서 더 알아보겠습니다. )
행렬식
*정방 행렬에서만 구할 수 있습니다. 정방 행렬 A 에 대한 행렬식은 다음과 같이 표기합니다.
행렬식을 계산하기 위해 몇가지를 더 정리해보겠습니다.
소행렬식 (minor)
-i,j 소행렬식 Mij 는 mXn 정방 행렬 A 에서 i번째 행과 j 번째 열을 제외한 (n-1) X (n-1) 정방 행렬의 행렬식을 의미합니다.
여인자(cofactor)
3X3 정방행렬 A 가 주어졌을 때 여인자식 A12 와 A31 을 구해보겠습니다.
여인자 식에 각각 대입하면 다음과 같습니다.
이제 소행렬식을 차례대로 구해보겠습니다.
다시 여인자식으로 돌아가면 다음과 같이 됩니다.
최종 행렬식은 여인자식을 11부터 33까지 모든 원소들을 구한 뒤에 더하면 됩니다.
즉
행렬식을 구하는 방법 ( 1 x 1 정방 행렬A = [ a ]의 행렬식은 |A| = a )
2X 2 정방행렬의 경우
즉 :
최종적으로 2x2 정방행렬의 행렬식은 다음과 같이 구할 수 있습니다.
3X3 정방행렬의 경우
3X3 정방행렬은 다음과 같이 계산하면 쉽습니다.
다음과 같이 대각선으로 차례대로 곱합니다.
이 값들은 서로 더합니다.
그리고 반대 방향 대각선끼리 곱합니다. ( - 를 붙여준다 )
서로 더합니다.
최종적으로 전부 더하게 되면 행렬식을 구할 수 있습니다.
* 다음 행렬식을 계산하면 다음과 같습니다.
|A| = 3 * 1 - ( -5 * 2 ) = 3 - (-10) = 30
|B| = (2 * 2 * 3) + (1 * -1 * 2) + (3 * 1 * -1) - ( 2 * -1 * -1) - ( 1 * 1 * 3 ) - ( 3 * 2 * 2 )
= 12 + (-2) + (-3) -2 -3 -12 = - 10
* 행렬식의 특징
(ㄱ)
(ㄴ) n x n 행렬에 대하여, 
(ㄷ) |AB| = |A||B|
역행렬 (inverse matrix)
-행렬에는 나눗셈이 없습니다. 유사한 연산을 수행하기 위해 역행렬이라는 개념을 도입했습니다.
정방행렬 A 에 대한 역행렬은 다음과 같이 표기합니다.
역행렬은 다음을 만족합니다.
(I는 단위행렬)
*역행렬은 행렬식의 값이 0인 경우 존재할 수 없습니다. 이를 특이 행렬(singular matrix) 이라 하고, 역행렬이 존재하는 행렬을 가역 행렬(invertible matrix) 라고 합니다.
역행렬을 이용하는 방법
행렬 A, B, X 가 있을 때 특정 행렬 X 를 구하는 경우라고 가정하고, 다음과 같이 식을 구성합니다.
AX = B 식 1
XA = B 식 2
여기서 행렬의 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않으므로 두 식은 다릅니다.
여기서 식 1 의 양 변에 A 의 역행렬을 전치시키면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
식 2를 간단히 했을 때도 마찬가지로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
역행렬을 구하는 방법
* 먼저 수반 행렬(adjoint matrix) 를 알아야 합니다.
n X n 행렬 A 의 수반 행렬은 ( j , i ) 여인자 Aji 를 (i , j) 번째 성분으로 갖는 행렬을 말합니다.
수반 행렬을 이용하여 역행렬을 계산하는 식을 표현하면 다음과 같습니다.
0으로 나누는 나눗셈은 정의할 수 없으므로, 행렬식이 0이면 역행렬이 존재할 수 없습니다.
일반적으로 게임 프로그래밍에선 2X2 , 3X3 정방행렬을 주로 사용하므로, 3X3 정방행렬의 역행렬을 구해보겠습니다.
다음과 같은 정방행렬 A 가 있다고 가정합니다.
다음으로 행렬식을 계산합니다.
= ( 1 * 1 * -2 ) + ( 0 * (-1) * 0 ) + ( -2 * 3 * 4 ) - (1 * -1 * 4) - ( 0 * 3 * -2 ) - ( -2 * 1 * 0 )
= -2 + 0 + (-24) - ( -4 ) - 0 - ( 0 )
= -2 - 24 + 4 = -22
이제 수반 행렬을 계산해야 합니다. ( 그전에 9개의 여인자를 계산합니다.)
여인자를 계산했으니 수반 행렬과 함께 역행렬을 계산할 수 있습니다.
역행렬의 계산법 까지 알아봤으니 역행렬의 특징을 알아보고 포스트 마치겠습니다.
역행렬의 특징은 다음과 같습니다. (A,B 는 행렬이고 k는 스칼라입니다.)
(ㄱ)
(ㄴ)
(ㄷ)
(ㄹ)
(ㅁ)
